《线性代数》复习资料
一、单项选择题
1.A*是A的n阶伴随矩阵,且A可逆,刚|A*|=( C )。
A.|A| B.1 C.|A|n-1 D.|A|n+1
2.设A和B都是n阶矩阵,且|A+AB|=0,则有(C )。
A.|A|=0 B.|E+B|=0 C.|A|=0 或|E+B|=0 D.|A|=0且 |E+B|=0
3.当( C)时,A =是正交阵。
A.a = 1, b = 2, c = 3 B.a = b = c = 1
C.a=1,b=0,c±1 D.a=b=1,c=0
4.设λ=-3是方阵A的一个特征值,则A可逆时,A-1的一个特征值是 ( C )。
A.-3 B.3 C.-1/3 D.1/3
5.如果两个同维的向量组等价,则这两个向量组( D )。
A.相等; B.所含向量的个数相等; C.不相等 ; D.秩相等。
6.若是线性方程组AX=O的基础解系,则是AX=O的( A )。
A.解向量 B.基础解系 C.通解 D.A的行向量
7.矩阵A的秩为r,则知 ( B )。
A.A中所有r阶子式不为0; B.A中所有r+1阶子式都为0;
C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0; D.r-1阶子式都为0。
8.设A,B,C为同阶矩阵,若AB=AC,必推出B=C,则A应满足条件( A )。
A.|A|≠0 B.A=O C.|A|=0 D.A≠0
9.对于两个相似矩阵,下面的结论不正确的是 ( C )。
A.两矩阵的特征值相同 B.两矩阵的秩相等 C.两矩阵的特征向量相同 D.两矩阵都是方阵。
10.两个n阶矩阵A与B相似的,是指( C )。
A.PAP-1=B B.QTAQ=B
C.Q-1AQ=B D.AB=E(Q,P,Q均为n阶可逆方阵)
11.下列命题中正确的是(C )。
A.任意n个n +1维向量线性相关; B.任意n个n +1维向量线性无关;
C.任意n + 1个n 维向量线性相关; D.任意n + 1个n 维向量线性无关.
12.若A为4阶方阵,且|A|=5,则|3A|=( C )。
A.15 B.60 C.405 D.45
13.设A为三阶方阵,且A2=0,以下成立的是(B )。
A.A=0 B.A3=0 C.R(A)=0 D.R(A)=3
14.当A是正交阵时,下列结论错误的是( D )。
A.A-1=AT B.A-1也是正交阵 C.AT也是正交阵 D.A的行列式值一定为1
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.A*是A的伴随矩阵,且A可逆,则(A*)-1=。
2.A,B是同阶可逆矩形,则(AB)-1=______。
3.若A=,则R(A) =___2___。
4.设A为三阶矩阵且|A|=2,则|4A|=___128___ 。
5.排列36i15j84在i=___7__,j=___2___时是奇排列。
三、计算题
1.计算行列式D = 。
答:
2.求非齐次线性方程组的解,若有无穷多解时,用基础解系表示其一般解。
答:增广矩阵为
,
所以对应的齐次方程的通解为:;
非齐次方程的特解为: 。
所以原方程的通解为: 。
3.设 ,求A的特征值及对应的特征向量。
答案:特征值λ1=λ2=λ3=1.对于λ1=1,
,特征向量为
4.将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。
答案:解:由于中无平方项,故令,代入二次型,得
5.计算行列式 D =
解:
6.解矩阵方程XA =B ,其中 ,求x
7.求解线性方程组
8.
解:由,
得A的特征值为:。
当时,齐次方程组为 ,
由,解得基础解系为
,所以A的属于特征值的全部特征向量为。
当时,齐次方程组为 ,
由
,解得基础解系为 所以A的属于特征值的全部特征向量为。
四、证明题(本大题共1小题,共10分)
1.若A是可逆的对称矩阵,则A-1也是对称矩阵;若A是可逆的反对称矩阵,则A-1也是反对称矩阵。
证明:因为 AT=A,那么(A-1)T=(AT)-1=(A)-1 ,
所以A-1也是对称矩阵。
因为AT=-A ,那么(A1)T=(AT)1=(-A)1=-A1 ,
所以A-1也是反对称矩阵。
2.如 α1,α2,α3,…αt向量组线性无关,试证明:向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3, … ,α1+α2+…+αt 线性无关。
证明:假设向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性相关,那么存在不全为0的数 k1,k2,… kt,使得:
k1α1+k2(α1+α2)+…+k1(α1+α2+ …+αt )=0 ,
所以:k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+ …+ktαt =0;
即:(k1+k2+…+kt)α1+(k2+…+kt)α2+……+ktαt=0 。
因为向量组 α1,α2,α3,…αt 线性无关,所以:
k1+k2+…+kt =0,
k2+…+kt =0,
……,
kt =0,
所以 k1=k2=…=kt =0 矛盾。故向量组 α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt 线性无关。
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