《线性代数》复习资料

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一、单项选择题

1.A*是A的n阶伴随矩阵,且A可逆,刚|A*|=( C  )。

A.|A|                B.1                 C.|A|n-1                                D.|A|n+1

2.设A和B都是n阶矩阵,且|A+AB|=0,则有(C )。

A.|A|=0              B.|E+B|=0             C.|A|=0 或|E+B|=0     D.|A|=0且 |E+B|=0

3.当( C)时,A =是正交阵。

A.a = 1, b = 2, c = 3                      B.a = b = c = 1

C.a=1,b=0,c±1                            D.a=b=1,c=0

4.设λ=-3是方阵A的一个特征值,则A可逆时,A-1的一个特征值是 ( C )。

A.-3                 B.3                 C.-1/3               D.1/3

5.如果两个同维的向量组等价,则这两个向量组( D )。

A.相等;             B.所含向量的个数相等; C.不相等 ;           D.秩相等。

6.若是线性方程组AX=O的基础解系,则是AX=O的( A )。

A.解向量             B.基础解系           C.通解              D.A的行向量

7.矩阵A的秩为r,则知 ( B )。

A.A中所有r阶子式不为0;                  B.A中所有r+1阶子式都为0;

C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0;      D.r-1阶子式都为0。

8.设A,B,C为同阶矩阵,若AB=AC,必推出B=C,则A应满足条件( A )。

A.|A|≠0             B.A=O               C.|A|=0             D.A≠0

9.对于两个相似矩阵,下面的结论不正确的是 ( C )。

A.两矩阵的特征值相同   B.两矩阵的秩相等      C.两矩阵的特征向量相同 D.两矩阵都是方阵。

10.两个n阶矩阵A与B相似的,是指( C )。

A.PAP-1=B                                 B.QTAQ=B

C.Q-1AQ=B                                 D.AB=E(Q,P,Q均为n阶可逆方阵)

11.下列命题中正确的是(C )。

A.任意n个n +1维向量线性相关;             B.任意n个n +1维向量线性无关;

C.任意n + 1个n 维向量线性相关;             D.任意n + 1个n 维向量线性无关.

12.若A为4阶方阵,且|A|=5,则|3A|=( C )。

A.15               B.60                 C.405               D.45

13.设A为三阶方阵,且A2=0,以下成立的是(B )。

A.A=0                B.A3=0               C.R(A)=0             D.R(A)=3

14.当A是正交阵时,下列结论错误的是( D )。

A.A-1=AT                                B.A-1也是正交阵        C.AT也是正交阵         D.A的行列式值一定为1

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.A*是A的伴随矩阵,且A可逆,则(A*)-1=。

2.A,B是同阶可逆矩形,则(AB)-1=______。

3.若A=,则R(A) =___2___。

4.设A为三阶矩阵且|A|=2,则|4A|=___128___ 。

5.排列36i15j84在i=___7__,j=___2___时是奇排列。

三、计算题

 

1.计算行列式D  = 。

 

答:

 

2.求非齐次线性方程组的解,若有无穷多解时,用基础解系表示其一般解。

 

 

答:增广矩阵为

所以对应的齐次方程的通解为:;

非齐次方程的特解为: 。

所以原方程的通解为: 。

3.设            ,求A的特征值及对应的特征向量。

 

 

答案:特征值λ1=λ2=λ3=1.对于λ1=1,

,特征向量为

4.将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。

答案:解:由于中无平方项,故令,代入二次型,得

5.计算行列式   D =

解:

 

 

6.解矩阵方程XA =B ,其中                           ,求x

7.求解线性方程组

8.

解:由,

得A的特征值为:。

当时,齐次方程组为 ,

由,解得基础解系为

,所以A的属于特征值的全部特征向量为。

当时,齐次方程组为 ,

,解得基础解系为 所以A的属于特征值的全部特征向量为。

四、证明题(本大题共1小题,共10分)

1.若A是可逆的对称矩阵,则A-1也是对称矩阵;若A是可逆的反对称矩阵,则A-1也是反对称矩阵。

证明:因为 AT=A,那么(A-1)T=(AT)-1=(A)-1 ,

所以A-1也是对称矩阵。

因为AT=-A ,那么(A1)T=(AT)1=(-A)1=-A1 ,

所以A-1也是反对称矩阵。

2.如 α123,…αt向量组线性无关,试证明:向量组α112123, … ,α12+…+αt 线性无关。

证明:假设向量组α112, … ,α12+ …+αt 线性相关,那么存在不全为0的数 k1k2,… kt,使得:

k1α1+k212)+…+k112+ …+αt )=0 ,

所以:k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+ …+ktαt =0;

即:(k1+k2+…+kt)α1+(k2+…+kt2+……+ktαt=0 。

因为向量组 α123,…α线性无关,所以:

k1+k2+…+kt =0,

k2+…+kt =0,

……,

kt =0,

所以 k1=k2=…=kt =0 矛盾。故向量组 α112, … ,α12+ …+αt 线性无关。

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