《线性代数》复习资料

《线性代数》复习资料

一、单项选择题

1.A^*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A^*|=（ C  ）。

A.|A|                B.1                 C.|A|^n-1                                D.|A|ⁿ⁺¹

2.设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（C　）。

A.|A|=0              B.|E+B|=0             C.|A|=0 或|E+B|=0     D.|A|=0且 |E+B|=0

3.当（　C）时，A =是正交阵。

A.a = 1, b = 2, c = 3                      B.a = b = c = 1

C.a=1,b=0,c±1                            D.a=b=1,c=0

4.设λ=-3是方阵A的一个特征值，则A可逆时，A^-1的一个特征值是 （ C ）。

A.-3                 B.3                 C.-1/3               D.1/3

5.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（ D ）。

A.相等；             B.所含向量的个数相等； C.不相等 ；           D.秩相等。

6.若是线性方程组AX=O的基础解系，则是AX=O的（ A ）。

A.解向量             B.基础解系           C.通解              D.A的行向量

7.矩阵A的秩为r，则知 （　B　）。

A.A中所有r阶子式不为0；                  B.A中所有r+1阶子式都为0；

C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；      D.r-1阶子式都为0。

8.设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（　A　）。

A.|A|≠0             B.A＝O               C.|A|＝0             D.A≠0

9.对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 （ C ）。

A.两矩阵的特征值相同   B.两矩阵的秩相等      C.两矩阵的特征向量相同 D.两矩阵都是方阵。

10.两个n阶矩阵A与B相似的，是指（ C ）。

A.PAP^-1=B                                 B.Q^TAQ=B

C.Q^-1AQ=B                                 D.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）

11.下列命题中正确的是（C　）。

A.任意n个n +1维向量线性相关；             B.任意n个n +1维向量线性无关；

C.任意n + 1个n 维向量线性相关；             D.任意n + 1个n 维向量线性无关.

12.若A为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=(　C　)。

A.15               B.60                 C.405               D.45

13.设A为三阶方阵，且A²=0，以下成立的是（B　）。

A.A=0                B.A³=0               C.R(A)=0             D.R(A)=3

14.当A是正交阵时，下列结论错误的是（ D ）。

A.A^-1=A^T                                B.A^-1也是正交阵        C.A^T也是正交阵         D.A的行列式值一定为1

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)^-1=。

2.A,B是同阶可逆矩形，则（AB）^-1=______。

3.若A=，则R(A) =___2___。

4.设A为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝___128___ 。

5.排列36i15j84在i=___7__,j=___2___时是奇排列。

三、计算题

 

1.计算行列式D  = 。

 

答：

 

2.求非齐次线性方程组的解，若有无穷多解时，用基础解系表示其一般解。

 

 

答：增广矩阵为

，

所以对应的齐次方程的通解为：；

非齐次方程的特解为： 。

所以原方程的通解为： 。

3.设            ，求A的特征值及对应的特征向量。

 

 

答案：特征值λ₁＝λ₂＝λ₃＝1.对于λ₁＝1，

，特征向量为

4.将二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁x₂₊x₁x₃-3x₂x₃化为标准型。

答案：解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得

5.计算行列式   D =

解：

 

 

6.解矩阵方程XA =B ，其中                           ，求x

7.求解线性方程组

8.

解：由，

得A的特征值为：。

当时，齐次方程组为 ,

由，解得基础解系为

，所以A的属于特征值的全部特征向量为。

当时，齐次方程组为 ,

由

，解得基础解系为 所以A的属于特征值的全部特征向量为。

四、证明题（本大题共1小题，共10分）

1.若A是可逆的对称矩阵，则A^-1也是对称矩阵；若A是可逆的反对称矩阵，则A^-1也是反对称矩阵。

证明：因为 A^T=A，那么(A^-1)^T=(A^T)^-1=(A)^-1 ,

所以A^-1也是对称矩阵。

因为A^T=-A ,那么(A¹)^T=(A^T)¹=(-A)¹=-A¹ ,

所以A^-1也是反对称矩阵。

2.如 α₁,α₂,α₃,…α_t向量组线性无关，试证明：向量组α₁,α₁+α₂,α₁+α₂+α₃, … ,α₁+α₂+…+α_t 线性无关。

证明：假设向量组α₁,α₁+α₂, … ,α₁+α₂+ …+α_t 线性相关，那么存在不全为0的数 k_1，k₂，… k_t，使得：

k₁α₁+k₂(α₁+α₂)+…+k₁(α₁+α₂+ …+α_t )=0 ，

所以：k₁α₁+k₂α₁+k₂α₂+…+k₁α₁+k₁α₂+ …+k_tα_t =0；

即：（k₁+k₂+…+k_t）α₁+(k₂+…+k_t)α₂+……+k_tα_t=0 。

因为向量组 α₁,α₂,α₃,…α_t 线性无关，所以：

k₁+k₂+…+k_t =0，

k₂+…+k_t =0，

……，

k_t =0，

所以 k₁=k₂=…=k_t =0 矛盾。故向量组 α₁,α₁+α₂, … ,α₁+α₂+ …+α_t 线性无关。